Mekanik Tasarımda Hertz Temas Gerilmesi Hesaplamaları: Küreler, Silindirler ve Dişli Çarklar

İki kavisli yüzey bir yük altında birbirine bastırıldığında, teorik temas alanı sıfırdır: İki küre için bir nokta, veya iki silindir için bir çizgi. Gerçekte ise, malzemelerin elastikiyeti nedeniyle temas bölgesi deforme olur ve küçük, sonlu bir alana —bir daireye veya bir dikdörtgene— dönüşür.

Bu yerelleştirilmiş temas deformasyonu, Hertz Temas Gerilmesi olarak bilinen son derece yüksek basınçlar üretir (bu ismi, problemi 1881'de çözen fizikçi Heinrich Hertz'den almıştır). Standart eğilme veya çekme gerilmelerinden farklı olarak, Hertz temas gerilmeleri doğrusal olmayan (non-linear) davranış gösterir. En kritik hasar modlarının yüzeyin altında başlaması, bu gerilmeleri rulmanlarda, dişlilerde ve kam mekanizmalarında yaygın bir oyulma (pitting) ve dökülme (spalling) kaynağı haline getirir.

Kürenin Düzlemle Teması: Noktasal Temas

Noktasal temasın klasik bir örneği, bir bilyalı rulmanın yatak içinde yuvarlanmasıdır. Bir $F$ kuvveti, $R$ yarıçaplı bir küreyi düz bir plakaya bastırdığında, temas alanı $a$ yarıçaplı bir daireye dönüşür:

$$a = \left( \frac{3 F R_{eq}}{4 E^*} \right)^{1/3}$$

Burada:

• $R_{eq}$: Eşdeğer eğrilik yarıçapıdır (düz plakaya basma durumunda $R_{eq} = R$ olur).
• $E^$: Her iki malzemenin elastisite modülü ($E$) ve Poisson oranından ($\nu$) hesaplanan eşdeğer elastik modüldür: $$\frac{1}{E^} = \frac{1 - \nu_1^2}{E_1} + \frac{1 - \nu_2^2}{E_2}$$

Temas basıncı, bu dairesel alan üzerinde parabolik olarak dağılır ve merkezde tepe noktasına ulaşır. Maksimum temas basıncı ($p_{max}$):

$$p_{max} = \frac{3 F}{2 \pi a^2}$$

Burada temas yarıçapı $a \propto F^{1/3}$ olduğundan, tepe basıncının yükün küp kökü ile orantılı olduğuna dikkat edin: $p_{max} \propto F^{1/3}$. Yükü iki katına çıkarmak temas gerilmesini iki katına çıkarmaz; sadece yaklaşık $%26$ oranında artırır.

Silindirin Düzlemle Teması: Çizgisel Temas

Silindirik makaralı rulmanlar veya birbiriyle eşleşen dişli çark dişleri gibi çizgisel temaslarda, temas bölgesi $L$ uzunluğunda ve $2b$ genişliğinde bir dikdörtgene deforme olur. Dikdörtgen temas bandının yarı genişliği ($b$):

$$b = \left( \frac{4 F R_{eq}}{\pi L E^*} \right)^{1/2}$$

Maksimum temas basıncı ($p_{max}$) bu dikdörtgen şeridin merkez ekseni boyunca oluşur:

$$p_{max} = \frac{2 F}{\pi b L}$$

Çizgisel temasta $b \propto F^{1/2}$ olduğundan, maksimum basınç kuvvetin karekökü ile orantılıdır: $p_{max} \propto F^{1/2}$.

Hasarın Neden Yüzeyin Altında Başladığı Sorusu

Hasar görmüş bir rulmanı veya dişli çark dişini incelediğinizde, genellikle metalin koparak döküldüğü krater benzeri oyulmalar (pitting) görürsünüz. Hasarın yüzeydeki aşırı basınç nedeniyle yüzeyden başladığını varsaymak caziptir. Ancak elastik gerilme alanı analizleri, plastik deformasyona ve mikro çatlaklara neden olan kritik kayma gerilmesinin ($\tau$) yüzeyde değil, yüzeyin altında tepe noktasına ulaştığını gösterir.

Noktasal temas için, maksimum kayma gerilmesi ($\tau_{max}$) dikey eksen boyunca şu derinlikte oluşur:

$$z \approx 0.47 a$$

Bu derinlikte, kayma gerilmesi şu değere ulaşır:

$$\tau_{max} \approx 0.31 p_{max}$$

Rulman bilyası veya dişli çark döndükçe, alt yüzeydeki bu nokta sürekli olarak yüklenip boşalır (yorulma yükü). Çevrimsel yorulma nedeniyle mikro çatlaklar yüzeyin hemen altındaki bu derinlikte başlar, dışa doğru ilerler ve nihayetinde yüzeydeki malzemenin pul pul dökülmesine (pitting/spalling) neden olur. Bu nedenle, sementasyon veya nitrürasyon gibi yüzey sertleştirme işlemlerinin, sadece yüzeyde kalmayıp maksimum kayma gerilmesinin oluştuğu bu kritik $z$ derinliğini kapsayacak kadar derine nüfuz etmesi şarttır.

Mühendislik Limitleri ve Uygulama

Hertz temas gerilmeleri, endüstriyel makinelerde sıklıkla $1000\ \text{MPa}$ değerinin üzerine çıkar. Çelik malzeme çekme yükü altında çok daha düşük sınırlarda akmaya başlayacak olsa da, bu tür yerelleştirilmiş ve üç eksenli basma gerilmesi altında çok daha yüksek temas streslerine dayanabilir.

Maksimum temas basıncı ($p_{max}$) için tipik tasarım limitleri:

• Tamamı sertleştirilmiş rulman çeliği (örneğin 60 HRC'de 100Cr6 / 52100): Statik yük altında $1500 - 2000\ \text{MPa}$.
• Sertleştirilmiş dişli çark dişleri (yüzey sertleştirilmiş): Yağlama kalitesi ve ömür beklentisine bağlı olarak $1000 - 1400\ \text{MPa}$.
• Yumuşak çelik / yapısal bağlantılar: Yerel ezilmeleri önlemek için $300 - 500\ \text{MPa}$.

Sonuç

Hertz temas gerilmesi, bağlantının en büyük hasar riskini yüzeyin altında, görünmez bir derinlikte saklayan doğrusal olmayan bir fiziksel olgudur. Dönen makara elemanları, dişli mekanizmaları veya kam takipçileri tasarlarken $p_{max}$ ve buna bağlı $z$ derinliğini hesaplamak, doğru yüzey sertleştirme derinliğini belirlemenin ve yorulma oyulmalarını önlemenin tek yoludur.

Kaynaklar:

• Johnson, K. L. (1985). Contact Mechanics. Cambridge University Press.